Xét các số thực thỏa mãn \({2^{{x^2} + {y^2} + 1}} \le \left( {{x^2} + {y^2} – 2x + 2} \right){4^x}\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \frac{{8x + 4}}{{2x – y + 1}}\) gần với giá trị nào sau đây nhất?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\({2^{{x^2} + {y^2} + 1}} \le \left( {{x^2} + {y^2} – 2x + 2} \right){.4^x}\)
\({2^{{x^2} + {y^2} – 2x + 1}} \le {x^2} + {y^2} – 2x + 2\)
\({2^{{{\left( {x – 1} \right)}^2} + {y^2}}} – \left[ {{{\left( {x – 1} \right)}^2} + {y^2}} \right] – 1 \le 0\left( 1 \right)\)
Đặt \(t = {\left( {x – 1} \right)^2} + {y^2}\)
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {2^t} – t – 1 \le 0 \Leftrightarrow 0 \le t \le 1 \Leftrightarrow {\left( {x – 1} \right)^2} + {y^2} \le 1\)
\(P = \frac{{8x + 4}}{{2x – y + 1}} \Rightarrow \left( {2P – 8} \right).x – P.y + \left( {P – 4} \right) = 0\)
Yêu cầu bài toán tương đương:
\(\frac{{\left| {2P – 8 + P – 4} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {2P – 8} \right)}^2} + {P^2}} }} \le 1 \Leftrightarrow \left| {3P – 12} \right| \le \sqrt {{{\left( {2P – 8} \right)}^2} + {P^2}} \Leftrightarrow 5 – \sqrt 5 \le P \le 5 + \sqrt 5 \)
