Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình \(\sqrt[{}]{{{2^x} + 3}} + \sqrt[{}]{{5 – {2^x}}} \le m\) nghiệm đúng với mọi \(x \in \left( { – \infty \,;\,{{\log }_2}5} \right)\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \({2^x} = t\). Vì \(x < {\log _2}5 \Rightarrow 0 < {2^x} < {2^{lo{g_2}5}} \Rightarrow 0 < t < 5\).
Yêu cầu bài toán trở thành \(\sqrt[{}]{{t + 3}} + \sqrt[{}]{{5 – t}} \le m, \forall t \in \left( {0\,;\,5} \right)\).
Xét hàm số \(f\left( t \right) = \sqrt[{}]{{t + 3}} + \sqrt[{}]{{5 – t}}\) với x.
Có \(f’\left( t \right) = \frac{1}{{2\sqrt {t + 3} }} – \frac{1}{{2\sqrt {5 – t} }}\).
\(f’\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{{2\sqrt {t + 3} }} – \frac{1}{{2\sqrt {5 – t} }} = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ – 3 < t < 5}\\{\sqrt {t + 3} = \sqrt {5 – t} }\end{array}} \right. \Leftrightarrow t = 1\)
Bảng biến thiên
.png)
Dựa vào bảng biến thiên ta có: \(m \ge 4\)
