Gọi d là đường thẳng đi qua A(2;0) có hệ số góc m cắt đồ thị (C ):y = - x3 + 6x2 - 9x + 2 tại ba điểm phân biệt A, B, C. Gọi B', C' lần lượt là hình chiếu vuông góc của B, C lên trục tung. Tìm giá trị dương của m để hình thang BB'C'C có diện tích bằng 8.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiPhương trình đường thẳng d:y=m(x−2)
Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C) là:
\(\begin{array}{l} - {x^3} + 6{x^2} - 9x + 2 = m\left( {x - 2} \right) \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} - 4x + m + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2 \to A(2;0)\\ {x^2} - 4x + m + 1 = 0(1) \end{array} \right. \end{array}\)
Để đồ thị hàm số (C) cắt dd tại 3 điểm phân biệt thì phương trình (1) phải có hai nghiệm phân biệt x≠2
ĐK:
\(\left\{ \begin{array}{l} \Delta > 0\\ 4 - 8 + m + 1 \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4 - m - 1 > 0\\ m - 3 \ne \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m < 3\\ m \ne 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow m < 3\)
Giả sử \( B\left( {{x_1};m{x_1} - 2m} \right),C\left( {{x_2};m{x_2} - 2m} \right)\) với x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình (1)
Theo Viet \(\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = 4\\ {x_1}{x_2} = m + 1 \end{array} \right.\).
Vì m>0⇒x1>0 và x2>0.
Ta có
\( B'\left( {0,m{x_1} - 2m} \right),C'\left( {0,m{x_2} - 2m} \right)\)
Ta có
\( {S_{BB'C'C}} = \frac{1}{2}B'C'\left( {BB' + CC'} \right) = 8 \Leftrightarrow B'C'\left( {BB' + CC'} \right) = 16{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( * \right)\)
Mà \( B'C' = \left| {m\left( {{x_1} - {x_2}} \right)} \right|,BB' = \left| {{x_1}} \right| = {x_1},CC' = \left| {{x_2}} \right| = {x_2}\)
Do đó
\(\begin{array}{l} \left( * \right) \Leftrightarrow m\left| {{x_1} - {x_2}} \right|\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 16 \Leftrightarrow m\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 4 \Leftrightarrow {m^2}{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = 16\\ \Leftrightarrow {m^2}\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \right] = 16 \Leftrightarrow {m^2}\left( {16 - 4m - 4} \right) = 16\\ \Leftrightarrow {m^3} - 3{m^2} + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = - 1\\ m = 2 \end{array} \right. \end{array}\)
Kết hợp với m>0 và <3 ta có m=2
Đáp án cần chọn là: C