Có bao nhiêu cặp số nguyên dương \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \(1 \le x \le 10\) và \(x + {x^2} – {9^y} \ge {3^y}\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có \(x + {x^2} – {9^y} \ge {3^y} \Leftrightarrow x + {x^2} \ge {9^y} + {3^y}\)
Xét hàm số đặc trưng \(f\left( t \right) = {t^2} + t\) với t > 0.
Ta có \(f’\left( t \right) = 2t + 1 > 0,\forall t > 0\) suy ra \(f\left( t \right)\) là hàm số đồng biến trên \(\left( {t > 0} \right)\)
Suy ra \(x + {x^2} \ge {9^y} + {3^y} \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge f\left( {{3^y}} \right) \Leftrightarrow x \ge {3^y}\).
Với giả thiết \(1 \le x \le 10\) ta có: \({3^y} \le 10 \Rightarrow y \le 2\).
TH1: \(y = 1 \Rightarrow {3^1} \le x \le 10 \Rightarrow x \in \left\{ {3;4;5;6;7;8;9;10} \right\}\) có 8 cặp nghiệm \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn.
TH2: \(y = 2 \Rightarrow {3^2} = 9 \le x \le 10 \Rightarrow x \in \left\{ {9;10} \right\}\) có 2 cặp nghiệm \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn.
Vậy có tất cả 10 cặp nghiệm \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn.
