Hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} {\ln ^2}x - m\ln x + m + 4 \le 0\\ \frac{{x - 3}}{{{x^2}}} > 0 \end{array} \right.\) có nghiệm khi
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có
\(\frac{x-3}{{{x}^{2}}}>0\Leftrightarrow x>3\)
\(\begin{array}{l} {\ln ^2}x - m\ln x + m + 3 \le 0 \Leftrightarrow m\left( {\ln {\rm{x}} - 1} \right) \le {\ln ^2}x + 3\\ m \le \frac{{{{\ln }^2}x + 3}}{{\ln {\rm{x}} - 1}} \end{array}\)
Đặt \(t=\ln \text{x}\,\,\,;t\ge \ln 3\)
Ta xét hàm số \(f\left( t \right)=\frac{{{t}^{2}}+3}{t-1}\)
\(\begin{array}{l} f\left( t \right) = \frac{{{t^2} + 3}}{{t - 1}} = t + 1 + \frac{4}{{t - 1}}\\ \Rightarrow f'\left( t \right) = 1 - \frac{4}{{{{\left( {t - 1} \right)}^2}}};f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 1 - \frac{4}{{{{\left( {t - 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 3\\ t = - 1 \end{array} \right. \end{array}\)
.png)
Vậy hệ có nghiệm khi \(m\ge 6\).
