Tập nghiệm của bất phương trình \({\left( {{t^2} + 2t + \frac{7}{4}} \right)^{{t^2} – 2t + 3}} \ge {\left( {{t^2} + 2t + \frac{7}{4}} \right)^{1 + t}}\) là:

Ta phân tích như sau:

\({t^2} + 2t + \frac{7}{4} = \left( {{t^2} + 2t + 1} \right) + \frac{3}{4} = {\left( {t + 1} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4},\,\forall t \in \mathbb{R}\).

Ta chia thành các trường hợp:

TH1: \({t^2} + 2t + \frac{7}{4} = 1 \Leftrightarrow {t^2} + 2t + \frac{3}{4} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = – \frac{1}{2}\\t = – \frac{3}{2}\end{array} \right.\)

Khi đó, tập nghiệm của bất phương trình đã cho trong trường hợp 1 là:

\({T_1} = \left\{ { – \frac{3}{2};\, – \frac{1}{2}} \right\}\)

TH2: \(\frac{3}{4} \le {t^2} + 2t + \frac{7}{4} < 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t^2} + 2t + 1 \ge 0\\{t^2} + 2t + \frac{3}{4} < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t \in \mathbb{R}\\t \in \left( { – \frac{3}{2};\, – \frac{1}{2}} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow t \in \left( { – \frac{3}{2};\, – \frac{1}{2}} \right)\)

Khi đó, bất phương trình đã cho tương đương:

\({t^2} – 2t + 3 \le 1 + t \Leftrightarrow {t^2} – 3t + 2 \le 0 \Leftrightarrow t \in \left[ {1;\,2} \right]\)

Tập nghiệm của bất phương trình đã cho trong trường hợp 2 là: \({T_2} = \emptyset \).

TH3: \({t^2} + 2t + \frac{7}{4} > 1 \Leftrightarrow {t^2} + 2t + \frac{3}{4} > 0 \Leftrightarrow t \in \left( { – \infty ;\, – \frac{3}{2}} \right) \cup \left( { – \frac{1}{2};\, + \infty } \right)\)

Khi đó, bất phương trình đã cho tương đương:

\({t^2} – 2t + 3 \ge 1 + t \Leftrightarrow {t^2} – 3t + 2 \ge 0 \Leftrightarrow t \in \left( { – \infty ;\,1} \right] \cup \left[ {2;\, + \infty } \right)\).

Tập nghiệm của bất phương trình đã cho trong trường hợp 3 là:

\({T_3} = \left( { – \infty ;\, – \frac{3}{2}} \right) \cup \left( { – \frac{1}{2};\,1} \right] \cup \left[ {2;\, + \infty } \right)\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:

\(T = {T_1} \cup {T_2} \cup {T_3} = \left\{ { – \frac{3}{2};\, – \frac{1}{2}} \right\} \cup \emptyset \cup \left( {\left( { – \infty ;\, – \frac{3}{2}} \right) \cup \left( { – \frac{1}{2};\,1} \right] \cup \left[ {2;\, + \infty } \right)} \right)= \left( { – \infty ;\, – \frac{3}{2}} \right] \cup \left[ { – \frac{1}{2};\,1} \right] \cup \left[ {2;\, + \infty } \right)\).