Biết rằng bất phương trình\( {\log _2}\left( {{5^x} + 2} \right) + 2.{\log _{\left( {{5^x} + 2} \right)}}2 > 3\) có tập nghiệm là S=(logab;+∞), với a, b là các số nguyên dương nhỏ hơn 6 và a≠1. Tính P=2a+3b
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có:
\( {\log _2}\left( {{5^x} + 2} \right) + 2.{\log _{\left( {{5^x} + 2} \right)}}2 > 3 \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{5^x} + 2} \right) + \frac{2}{{{{\log }_2}\left( {{5^x} + 2} \right)}} > 3\) (1)
Đặt
\(\begin{array}{l} {\log _2}\left( {{5^x} + 2} \right) = t,{\mkern 1mu} \left( {t \ne 0} \right)\\ \to {5^x} + 2 > 2 \Rightarrow {\log _2}\left( {{5^x} + 2} \right) > {\log _2}2 = 1 \Rightarrow t > 1 \end{array}\)
Khi đó, (1) trở thành: \( t + \frac{2}{t} > 3 \Leftrightarrow \frac{{{t^2} - 3t + 2}}{t} > 0\)
Ta có bảng xét dấu sau:
Từ BBT kết hợp điều kiện của t ta có:
\( \Rightarrow t > 2 \Rightarrow {\log _2}\left( {{5^x} + 2} \right) > 2{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \Leftrightarrow {5^x} + 2 > 4 \Leftrightarrow {5^x} > 2 \Leftrightarrow x > {\log _5}2\)
Vậy tập nghiệm của (1) là
\(S = \left( {{{\log }_5}2; + \infty } \right){\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \Rightarrow a = 5,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b = 2 \Rightarrow P = 2a + 3b = 16\)
Chọn: D
