Tập nghiệm của bất phương trình \({\left( {1 + \sqrt {10} } \right)^{{{\log }_3}x}} + \frac{2}{3}{\left( { – 1 + \sqrt {10} } \right)^{{{\log }_3}x}} \ge \frac{5}{3} \cdot x\,\,\left( 1 \right)\) là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTập xác định: \(D = \left( {0;\, + \infty } \right).\)
Ta có: \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {\left( {1 + \sqrt {10} } \right)^{{{\log }_3}x}} + \frac{2}{3} \cdot {\left( { – 1 + \sqrt {10} } \right)^{{{\log }_3}x}} \ge \frac{5}{3} \cdot {3^{{{\log }_3}x}}\,\,\left( 2 \right)\).
Đặt \(t = {\log _3}x,\,t \in \mathbb{R}\) ta được:
\(\begin{array}{l}\left( 2 \right) \Leftrightarrow {\left( {1 + \sqrt {10} } \right)^t} + \frac{2}{3} \cdot {\left( { – 1 + \sqrt {10} } \right)^t} \ge \frac{5}{3} \cdot {3^t}\,\, \Leftrightarrow {\left( {\frac{{1 + \sqrt {10} }}{3}} \right)^t} + \frac{2}{3} \cdot {\left( {\frac{{ – 1 + \sqrt {10} }}{3}} \right)^t}\\ \ge \frac{5}{3} \Leftrightarrow {\left( {\frac{{1 + \sqrt {10} }}{3}} \right)^t} + \frac{2}{3} \cdot {\left( {\frac{{ – 1 + \sqrt {10} }}{3}} \right)^t} – \frac{5}{3} \ge 0\,\,\left( 3 \right)\end{array}\)
Đặt \(u = {\left( {\frac{{1 + \sqrt {10} }}{3}} \right)^t},\,u > 0\) ta được:
\(\left( 3 \right) \Leftrightarrow u + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{u} – \frac{5}{3} \ge 0 \Leftrightarrow \frac{1}{{3u}} \cdot \left( {3{u^2} + 2u – 5} \right) \ge 0 \Leftrightarrow 3{u^2} + 2u – 5 \ge 0 \Leftrightarrow u \in \left( { – \infty ;\, – \frac{5}{3}} \right] \cup \left[ {1;\, + \infty } \right).\)
Vì u > 0 nên \(u \in \left[ {1;\, + \infty } \right) \Leftrightarrow u \ge 1 \Leftrightarrow {\left( {\frac{{1 + \sqrt {10} }}{3}} \right)^t} \ge 1 \Leftrightarrow t \ge 0 \Leftrightarrow {\log _3}x \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1.\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \(T = \left[ {1;\, + \infty } \right).\)
