Bất phương trình \(\log _{2}\left(x^{2}-x-2\right) \geq \log _{0,5}(x-1)+1\) có tập nghiệm là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐK:\(\left\{\begin{array}{l} x^{2}-x-2>0 \\ x-1>0 \end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} x<-1 \vee x>2 \\ x>1 \end{array} \Leftrightarrow x>2\right.\right.\)
\(\log _{2}\left(x^{2}-x-2\right) \geq \log _{0,5}(x-1)+1\Leftrightarrow \log _{2}\left(x^{2}-x-2\right) \geq \log _{0,5}(x-1)+1\)
\(\Leftrightarrow \log _{2}\left(x^{2}-x-2\right) \geq \log _{2^{-1}}(x-1)+1\)
\(\Leftrightarrow \log _{2}\left(x^{2}-x-2\right)+\log _{2}(x-1)-1 \geq 0 \Leftrightarrow \log _{2} \frac{\left(x^{2}-x-2\right)(x-1)}{2} \geq 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{\left(x^{2}-x-2\right)(x-1)}{2} \geq 1 \Leftrightarrow\left(x^{2}-x-2\right)(x-1) \geq 2 \Leftrightarrow x\left(x^{2}-2 x-1\right) \geq 0\)
\(\Leftrightarrow x^{2}-2 x-1 \geq 0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} x \leq 1-\sqrt{2}(\text {loai}) \\ x \geq 1+\sqrt{2}(t m) \end{array} \Rightarrow x \geq 1+\sqrt{2}\right.\)
