Tập nghiệm của bất phương trình \((1+\sqrt{5})^{\log _{2} x}-(-1+\sqrt{5})^{\log _{2} x}>\frac{2}{3} x\,\,\,(1)\) là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTXĐ: \(D=(0 ;+\infty)\)
\((1) \Leftrightarrow(1+\sqrt{5})^{\log _{2} x}-(-1+\sqrt{5})^{\log _{2} x}>\frac{2}{3} \cdot 2^{\log _{2} x}(2)\)
Đặt \(t=\log _{2} x, t \in \mathbb{R}\)
\((2) \Leftrightarrow(1+\sqrt{5})^{t}-(-1+\sqrt{5})^{t}>\frac{2}{3} \cdot 2^{t} \Leftrightarrow\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{t}-\left(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right)^{t}>\frac{2}{3}(3)\)
Đặt \(u=\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{t}, u>0\) ta được
\(u-\frac{1}{u}>\frac{2}{3} \Leftrightarrow \frac{1}{u}\left(u^{2}-\frac{2}{3} u-1\right)>0 \Leftrightarrow u^{2}-\frac{2}{3} u-1>0 \Leftrightarrow u \in\left(-\infty ; \frac{1-\sqrt{10}}{3}\right) \cup\left(\frac{1+\sqrt{10}}{3} ;+\infty\right)\)
Vì \(u \in\left(\frac{1+\sqrt{10}}{3} ;+\infty\right) \Leftrightarrow u>\frac{1+\sqrt{10}}{3} \Leftrightarrow\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{t}>\frac{1+\sqrt{10}}{3} \Leftrightarrow t>\log _{\frac{1+\sqrt{5}}{2}} \frac{1+\sqrt{10}}{3}\)
\(\Leftrightarrow \log _{2} x>\log _{\frac{1+\sqrt{5}}{2}} \frac{1+\sqrt{10}}{3} \Leftrightarrow x>2^{\log _{\frac{1+ \sqrt{5}}{2}} \frac{1+\sqrt{10}}{3}}\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \(\left( {{2^{{{\log }_{\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}}}\frac{{1 + \sqrt {10} }}{2}}}; + \infty } \right)\)