Tìm \(m\) để bất phương trình \(1+{{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)\ge {{\log }_{5}}\left( m{{x}^{2}}+4x+m \right)\) thoã mãn với mọi \(x\in \mathbb{R}\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiBPT thoã mãn với mọi \(x \in R\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m{x^2} + 4x + m > 0\\ 5\left( {{x^2} + 1} \right) \ge m{x^2} + 4x + m \end{array} \right.\left( {\forall x \in R} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m{x^2} + 4x + m > 0\\ \left( {5 - m} \right){x^2} - 4x + 5 - m \ge 0 \end{array} \right.\left( {\forall x \in R} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m > 0\\ 16 - 4{m^2} < 0\\ 5 - m > 0\\ 16 - 4{\left( {5 - m} \right)^2} \le 0 \end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m > 0\\ \left[ \begin{array}{l} m < - 2\\ m > 2 \end{array} \right.\\ m < 5\\ \left[ \begin{array}{l} m \le 3\\ m \ge 7 \end{array} \right. \end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow 2 < m \le 3\)