Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để bất phương trình \({{\log }_{2}}({{5}^{x}}-1).{{\log }_{2}}({{2.5}^{x}}-2)\ge m\) có nghiệm với mọi \(x\ge 1\)?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiBPT\(\Leftrightarrow {{\log }_{2}}({{5}^{x}}-1).{{\log }_{2}}({{2.5}^{x}}-2)\le m\Leftrightarrow {{\log }_{2}}({{5}^{x}}-1).\left[ 1+{{\log }_{2}}({{5}^{x}}-1) \right]\le m\)
Đặt \(t={{\log }_{6}}\left( x+\sqrt{{{x}^{2}}-1} \right)\) do\(x\ge 1\)\(\Rightarrow t\in \left[ 2;+\infty \right)\)
BPT\(\Leftrightarrow t(1+t)\ge m\Leftrightarrow {{t}^{2}}+t\ge m\Leftrightarrow f(t)\ge m\)
Với \(f(t)={{t}^{2}}+t\)
\({{f}^{,}}(t)=2t+1>0\)với\(t\in \left[ 2;+\infty \right)\)nên hàm đồng biến trên \(t\in \left[ 2;+\infty \right)\)
Nên \(Minf(t)=f(2)=6\)
Do đó để để bất phương trình \({{\log }_{2}}({{5}^{x}}-1).{{\log }_{2}}({{2.5}^{x}}-2)\ge m\) có nghiệm với mọi \(x\ge 1\) thì:
\(m\le Minf(t)\Leftrightarrow m\le 6\)
