Tìm m để bất phương trình \(m \cdot 9^{x}-(2 m+1) \cdot 6^{x}+m \cdot 4^{x} \leq 0\) nghiệm đúng với mọi \(x \in(0 ; 1)\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có \(m .9^{x}-(2 m+1) \cdot 6^{x}+m \cdot 4^{x} \leq 0 \Leftrightarrow m \cdot\left(\frac{9}{4}\right)^{x}-(2 m+1)\left(\frac{3}{2}\right)^{x}+m \leq 0\)
Đặt \(t=\left(\frac{3}{2}\right)^{x} . \text { Vi } x \in(0 ; 1) \text { nên } 1<t<\frac{3}{2}\)
Khi đó bất phương trình trở thành \(m \cdot t^{2}-(2 m+1) t+m \leq 0 \Leftrightarrow m \leq \frac{t}{(t-1)^{2}}\)
Đặt \(f(t)=\frac{t}{(t-1)^{2}}\)
Ta có \(f^{\prime}(t)=\frac{-t-1}{(t-1)^{3}}, f^{\prime}(t)=0 \Leftrightarrow t=-1\)
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta có \(m \leq \lim _{t \rightarrow \frac{3}{2}} f(t)=6\)