Bất phương trình \(\displaystyle \frac{1}{{5 - \log x}} + \frac{2}{{1 + \log x}} < 1\) có nghiệm là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐiều kiện: \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\\log x \ne 5\\\log x \ne - 1\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x > 0\\
x \ne {10^5}\\
x \ne {10^{ - 1}}
\end{array} \right.\)
Đặt \(\displaystyle t = \log x\) với điều kiện \(\displaystyle t \ne 5,t \ne - 1\) ta có:
\(\begin{array}{l}
\frac{1}{{5 - t}} + \frac{2}{{1 + t}} - 1 < 0\\
\Leftrightarrow \frac{{1 + t + 2\left( {5 - t} \right) - \left( {5 - t} \right)\left( {1 + t} \right)}}{{\left( {5 - t} \right)\left( {1 + t} \right)}} < 0\\
\Leftrightarrow \frac{{1 + t + 10 - 2t - 5 - 4t + {t^2}}}{{\left( {5 - t} \right)\left( {1 + t} \right)}} < 0\\
\Leftrightarrow \frac{{{t^2} - 5t + 6}}{{\left( {5 - t} \right)\left( {1 + t} \right)}} < 0\\
\Leftrightarrow \frac{{\left( {t - 2} \right)\left( {t - 3} \right)}}{{\left( {5 - t} \right)\left( {1 + t} \right)}} < 0
\end{array}\)
Xét dấu VT ta được: \(\displaystyle \left[ \begin{array}{l}t < - 1\\2 < t < 3\\t > 5\end{array} \right.\)
TH1: \(\displaystyle t < - 1\) suy ra \(\displaystyle \log x < - 1 \Leftrightarrow x < \frac{1}{{10}}\).
TH2: \(\displaystyle 2 < t < 3\) suy ra \(\displaystyle 2 < \log x < 3 \Leftrightarrow 100 < x < 1000\).
TH3: \(\displaystyle t > 5\) suy ra \(\displaystyle \log x > 5 \Leftrightarrow x > {10^5}\).
Kết hợp với điều kiện ta được \(\displaystyle 0 < x < \frac{1}{{10}}\) hoặc \(\displaystyle 100 < x < 1000\) hoặc \(\displaystyle x > 100000\).
