Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để tập nghiệm của bất phương trình \(\left( {{3^{x + 2}} – \sqrt 3 } \right)\left( {{3^x} – 2m} \right) < 0\) chứa không quá 9 số nguyên?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi \(\left( {{3^{x + 2}} – \sqrt 3 } \right)\left( {{3^x} – 2m} \right) < 0\) (1)
Đặt \(t = {3^x},\,t > 0,\,\) bất phương trình (1) trở thành \(\left( {9t – \sqrt 3 } \right)\left( {t – 2m} \right) < 0\,\left( 2 \right)\)
+ Nếu \(2m \le \frac{{\sqrt 3 }}{9} \Leftrightarrow m \le \frac{{\sqrt 3 }}{{18}} < 1\) thì không có số nguyên dương m nào thỏa mãn yêu cầu bài toán.
+ Nếu \(2m > \frac{{\sqrt 3 }}{9} \Leftrightarrow m > \frac{{\sqrt 3 }}{{18}}\) thì bất phương trình \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{9} < t < 2m\)
Khi đó tập nghiệm của bất phương trình \(\left( 1 \right)\) là \(S = \left( { – \frac{3}{2}\,\,;\,\,{{\log }_3}\left( {2m} \right)} \right)\)
Để S chứa không quá 9 số nguyên thì \({\log _3}\left( {2m} \right) \le 8 \Leftrightarrow 0 < m \le \frac{{{3^8}}}{2}\)
Vậy có 3280 số nguyên dương m thỏa mãn.
