Có bao nhiêu cặp số thực \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn đồng thời điều kiện \({3^{\left| {{x^2} – 2x – 3} \right| – {{\log }_3}5}} = {5^{ – (y + 4)}}\) và \(4\left| y \right| – \left| {y – 1} \right| + {\left( {y + 3} \right)^2} \le 8\)?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiXét bảng sau:
.png)
Gọi \(4\left| y \right| – \left| {y – 1} \right| + {(y + 3)^2} \le 8\) (*)
+ TH1. y < 0, ta có \(\left( * \right) \Leftrightarrow – 4y + y – 1 + {(y + 3)^2} \le 8 \Leftrightarrow – 3 \le y \le 0\), do đó \( – 3 \le y < 0\).
+ TH2. \(0 \le y \le 1, \left( * \right) \Leftrightarrow 4y + y – 1 + {(y + 3)^2} \le 8 \Leftrightarrow – 11 \le y \le 0\), do đó y = 0.
+ TH3. y > 1, \(\left( * \right) \Leftrightarrow 4y – y + 1 + {(y + 3)^2} \le 8 \Leftrightarrow \frac{{ – 9 – \sqrt {73} }}{2} \le y \le \frac{{ – 9 + \sqrt {73} }}{2}\), do đó loại TH3.
Vậy cả 3 trường hợp cho ta \( – 3 \le y \le 0\), với điều này ta có
\({3^{\left| {{x^2} – 2x – 3} \right| – {{\log }_3}5}} = {5^{ – (y + 4)}} \Leftrightarrow {3^{\left| {{x^2} – 2x – 3} \right|}} = {5^{ – (y + 3)}} = {\left( {\frac{1}{5}} \right)^{y + 3}}\).
Do \({3^{\left| {{x^2} – 2x – 3} \right|}} \ge 1\) và \({\left( {\frac{1}{5}} \right)^{y + 3}} \le {\left( {\frac{1}{5}} \right)^0} = 1\,{\rm{ }}(y \ge – 3)\).
Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} – 2x – 3 = 0\\y = – 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = – 1 \vee x = 3\\y = – 3\end{array} \right.\)
Vậy có 2 cặp nghiệm thỏa mãn.
