Tất cả các giá trị của m để bất phương trình \(\left( {3m + 1} \right){12^x} + \left( {2 – m} \right){6^x} + {3^x} < 0\) có nghiệm đúng \(\forall x > 0\) là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \({2^x} = t\). Do \(x > 0 \Rightarrow t > 1\).
Khi đó ta có: \(\left( {3m + 1} \right){t^2} + \left( {2 – m} \right)t + 1 < 0,\,\,\forall t > 1 \Leftrightarrow \left( {3{t^2} – t} \right)m < – {t^2} – 2t – 1,\,\,\,\forall t > 1\)
\( \Leftrightarrow m < \frac{{ – {t^2} – 2t – 1}}{{3{t^2} – t}}\,,\,\,\forall t > 1\).
Xét hàm số \(f\left( t \right) = \frac{{ – {t^2} – 2t – 1}}{{3{t^2} – t}}\,\,\) trên \(\left( {1; + \infty } \right) \Rightarrow f’\left( t \right) = \frac{{7{t^2} + 6t – 1}}{{{{(3{t^2} – t)}^2}}} > 0\,,\,\,\forall t \in (1; + \infty )\).
BBT
.png)
Do đó \(m \le \mathop {\lim }\limits_{t \to {1^ + }} f\left( t \right) = – 2\) thỏa mãn yêu cầu bài toán
