Bất phương trình \({2.5^{x + 2}} + {5.2^{x + 2}} \le 133.\sqrt {{{10}^x}} \) có tập nghiệm là S=[a;b] thì b−2a bằng:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có: \( {2.5^{x + 2}} + {5.2^{x + 2}} \le 133.\sqrt {{{10}^x}} \Leftrightarrow {50.5^x} + {20.2^x} \le 133\sqrt {{{10}^x}} \) chia hai vế bất phương trình cho 5x ta được : \( 50 + \frac{{{{20.2}^x}}}{{{5^x}}} \le \frac{{133\sqrt {{{10}^x}} }}{{{5^x}}} \Leftrightarrow 50 + 20.{\left( {\frac{2}{5}} \right)^x} \le 133.{\left( {\sqrt {\frac{2}{5}} } \right)^x}\) (1)
Đặt \( t = {\left( {\sqrt {\frac{2}{5}} } \right)^x},(t \ge 0)\) phương trình (1) trở thành: \( 20{t^2} - 133t + 50 \le 0 \Leftrightarrow \frac{2}{5} \le t \le \frac{{25}}{4}\)
Khi đó ta có:
\(\begin{array}{l} \frac{2}{5} \le {\left( {\sqrt {\frac{2}{5}} } \right)^x} \le \frac{{25}}{4} \Leftrightarrow {\left( {\frac{2}{5}} \right)^2} \le {\left( {\frac{2}{5}} \right)^x} \le {\left( {\frac{2}{5}} \right)^{ - 4}} \Leftrightarrow - 4 \le x \le 2\\ \to a = - 4,b = 2 \end{array}\)
Vậy \(b−2a=10\)
