Cho a là số nguyên dương lớn nhất thỏa mãn \( 3{\log _3}\left( {1 + \sqrt a + \sqrt[3]{a}} \right) > 2{\log _2}\sqrt a \). Tìm phần nguyên của log2(2017a).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \( t = \sqrt[6]{a},t > 0\) , từ giả thiết ta có
\(\begin{array}{l} 3{\log _3}\left( {1 + {t^3} + {t^2}} \right) > 2{\log _2}{t^3}\\ \Leftrightarrow f\left( t \right) = {\log _3}\left( {1 + {t^3} + {t^2}} \right) - {\log _2}{t^2} > 0 \end{array}\)
\( f'\left( t \right) = \frac{1}{{\ln 3}}.\frac{{3{t^2} + 2t}}{{{t^3} + {t^2} + 1}} - \frac{2}{{\ln 2}}.\frac{1}{t} = \frac{{\left( {3ln2 - 2\ln 3} \right){t^3} + \left( {2\ln 2 - 2\ln 3} \right){t^2} - 2\ln 3}}{{\ln 2.\ln 3.\left( {{t^4} + {t^3} + t} \right)}}\)
Vì đề xét aa nguyên dương nên ta xét t≥1
Xét \( g\left( t \right) = \left( {3ln2 - 2\ln 3} \right){t^3} + \left( {2\ln 2 - 2\ln 3} \right){t^2} - 2\ln 3\)
Ta có
\(\begin{array}{l} g'\left( t \right) = 3\ln \frac{8}{9}{t^2} + 2\ln \frac{4}{9}t = t\left( {3\ln \frac{8}{9}t + 2\ln \frac{4}{9}} \right)\\ g'(t) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{{9\ln \frac{9}{4}}}{{3\ln \frac{8}{9}}} < 0 \end{array}\)
Lập bảng biến thiên suy ra hàm số g(t) giảm trên khoảng [1;+∞)
\(\to g\left( t \right) \le g\left( 1 \right) = 5\ln 2 - 6\ln 3 < 0 \Rightarrow f'\left( t \right) < 0\)
Suy ra hàm số f(t) luôn giảm trên khoảng [1;+∞)
Nên t=4 là nghiệm duy nhất của phương trình f(t)=0
Suy ra
\( f\left( t \right) > 0 \Leftrightarrow f\left( t \right) > f\left( 4 \right) \Leftrightarrow t < 4 \Leftrightarrow \sqrt[6]{a} < 4 \Leftrightarrow a < 4096\)
Nên số nguyên aa lớn nhất thỏa mãn giả thiết bài toán là a=4095
Lúc đó \( {\log _2}\left( {2017a} \right) \approx 22,97764311\)
Nên phần nguyên của log2(2017a) bằng 22.
