Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình \({4^{{{\sin }^2}x}} + {5^{{{\cos }^2}x}} \le m{.7^{{{\cos }^2}x}}\) có nghiệm.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có \({4^{{{\sin }^2}x}} + {5^{{{\cos }^2}x}} \le m{.7^{{{\cos }^2}x}} \Leftrightarrow 4 \cdot {\left( {\frac{1}{{28}}} \right)^{{{\cos }^2}x}} + {\left( {\frac{5}{7}} \right)^{{{\cos }^2}x}} \le m\).
Đặt \(t = {\cos ^2}x,t \in \left[ {0;1} \right]\) thì BPT trở thành: \(4 \cdot {\left( {\frac{1}{{28}}} \right)^t} + {\left( {\frac{5}{7}} \right)^t} \le m\).
Xét \(f\left( t \right) = 4.{\left( {\frac{1}{{28}}} \right)^t} + {\left( {\frac{5}{7}} \right)^t}\) là hàm số nghịch biến trên \(\left[ {0;1} \right]\).
Suy ra: \(f\left( 1 \right) \le f\left( t \right) \le f\left( 0 \right) \Leftrightarrow \frac{6}{7} \le f\left( t \right) \le 5\).
Từ đó BPT có nghiệm \( \Leftrightarrow m \ge \frac{6}{7}\).
