Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \(4^{x}-m \cdot 2^{x}+2 m-5=0\) có hai nghiệm trái dấu.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có
\(4^{x}-m \cdot 2^{x}+2 m-5=0 \Leftrightarrow 2^{2 x}-m \cdot 2^{x}+2 m-5=0(1)\)
Đặt \(t=2^{x}, t>0\) Phương trình (1) trở thành \(t^{2}-m t+2 m-5=0(2)\)
Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu khi chỉ khi phương trình (2) có 2 nghiệm dương \(t_{1}, t_{2}\) thỏa mãn \(0<t_{1}<1<t_{2}\)
\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} \Delta>0 \\ -\frac{b}{a}>0 \\ \frac{c}{a}>0 \\ \left(t_{2}-1\right)\left(1-t_{1}\right)>0 \end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} m^{2}-4(2 m-5)>0 \\ m>0 \\ 2 m-5>0 \\ t_{2}-t_{1} t_{2}+t_{1}-1>0 \end{array}\right.\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} m>\frac{5}{2} \\ m-(2 m-5)-1>0 \end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} m>\frac{5}{2} \\ -m+4>0 \end{array} \Leftrightarrow \frac{5}{2}<m<4\right.\right.\)
