Số nghiệm của phương trình \(\log _{3}\left|x^{2}-\sqrt{2} x\right|=\log _{5}\left(x^{2}-\sqrt{2} x+2\right)\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐK: \(x \neq 0 ; x \neq \sqrt{2}\)
Đặt \(t=x^{2}-\sqrt{2} x \Rightarrow x^{2}-\sqrt{2} x+2=t+2 \Rightarrow \log _{3}|t|=\log _{5}(t+2)\)
Đặt \(\log _{3}|t|=\log _{5}(t+2)=u \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} \log _{3}|t|=u \\ \log _{5}(t+2)=u \end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} |t|=3^{u} \\ t+2=5^{u} \end{array}\right.\right.\)
\(\Rightarrow\left|5^{u}-2\right|=3^{u} \Rightarrow\left[\begin{array}{l} 5^{u}-2=3^{u} \\ 5^{u}-2=-3^{u} \end{array} \Rightarrow\left[\begin{array}{l} 5^{u}+3^{u}=2 \\ 3^{u}+2=5^{u} \end{array} \Rightarrow\left[\begin{array}{l} 5^{u}+3^{u}=2\,\,\,\,(1) \\ \left(\frac{3}{5}\right)^{u}+2\left(\frac{1}{5}\right)^{u}=1\,\,\,\,\,(2) \end{array}\right.\right.\right.\)
\(\text { Xét }(1): 5^{u}+3^{u}=2\)
Ta thấy u = 0 là 1 nghiệm, dùng phương pháp hàm số hoặc dùng BĐT để chứng minh nghiệm u = 0 là duy nhất
Với \(u=0 \Rightarrow t=-1 \Rightarrow x^{2}-\sqrt{2} x+1=0\), phương trình này vô nghiệm.
\(\text { Xét }(2):\left(\frac{3}{5}\right)^{u}+2\left(\frac{1}{5}\right)^{u}=1\)
Ta thấy u =1 là 1 nghiệm, dùng phương pháp hàm số hoặc dùng BĐT để chứng minh nghiệm u =1 là duy nhất.
ta có \(u=0 \Rightarrow t=3 \Rightarrow x^{2}-\sqrt{2} x-3=0\). , phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa \(x \neq 0 ; x \neq \sqrt{2}\)
