Tìm số nghiệm của phương trình: \({{\log }_{2x-1}}\left( 2{{x}^{2}}+x-1 \right)+{{\log }_{x+1}}{{\left( 2x-1 \right)}^{2}}=4\text{ }\left( 1 \right)\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐK: \(\left\{ \begin{array}{l} x > \frac{1}{2}\\ x \ne 1 \end{array} \right.\). Phương trình:
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{{{\log }_{x + 1}}\left( {2{x^2} + x + 1} \right)}}{{{{\log }_{x + 1}}\left( {2x - 1} \right)}} + 2{\log _{x + 1}}\left( {2x - 1} \right) = 4\\ \Leftrightarrow \frac{{{{\log }_{x + 1}}\left( {2x - 1} \right) + {{\log }_{x + 1}}\left( {x + 1} \right)}}{{{{\log }_{x + 1}}\left( {2x - 1} \right)}} + 2{\log _{x + 1}}\left( {2x - 1} \right) = 4\\ \Leftrightarrow 1 + \frac{1}{{{{\log }_{x + 1}}\left( {2x - 1} \right)}} + 2{\log _{x + 1}}\left( {2x - 1} \right) = 4{\rm{ }}\left( 3 \right) \end{array}\)
Đặt \(t={{\log }_{x+1}}\left( 2x-1 \right)\), khi đó (3) viết thành:
\(\begin{array}{l} 2t + \frac{1}{t} - 3 = 0 \Leftrightarrow 2{t^2} - 3t + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 1\\ t = \frac{1}{2} \end{array} \right.\\ \left[ \begin{array}{l} {\log _{x + 1}}\left( {2x - 1} \right) = 1\\ {\log _{x + 1}}\left( {2x - 1} \right) = \frac{1}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1 = 2x - 1\\ \sqrt {x + 1} = 2x - 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2\\ x = \frac{5}{4} \end{array} \right. \end{array}\)
