Phương trình \(5^{x}+25^{1-x}=6\) có tích các nghiệm là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có: \(5^{x}+25^{1-x}=6\,\,\,(1)\)
\((1) \Leftrightarrow 5^{x}+\frac{25}{25^{x}}-6=0 \Leftrightarrow 5^{x}+\frac{25}{\left(5^{2}\right)^{x}}-6=0 \Leftrightarrow 5^{x}+\frac{25}{\left(5^{x}\right)^{2}}-6=0\,\,\,(2)\)
Đặt \(t=5^{x}>0\)
Khi đó
\(\left(2\right) \Leftrightarrow t+\frac{25}{t^{2}}-6=0 \Leftrightarrow t^{3}-6 t+25=0 \Leftrightarrow(t-5)\left(t^{2}-t-5\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{ll} t=5 & (N) \\ t=\frac{1+\sqrt{21}}{2} & (N) \\ t=\frac{1-\sqrt{21}}{2} & (L) \end{array}\right.\)
\(\begin{array}{l} \text { Với } t=5 \Rightarrow 5^{x}=5 \Leftrightarrow x=1 \\ \text { Với } t=\frac{1+\sqrt{21}}{2} \Rightarrow 5^{x}=\frac{1+\sqrt{21}}{2} \Leftrightarrow x=\log _{5}\left(\frac{1+\sqrt{21}}{2}\right) \end{array}\)
Vậy tích hai nghiệm là: \(1 . \log _{5}\left(\frac{1+\sqrt{21}}{2}\right)=\log _{5}\left(\frac{1+\sqrt{21}}{2}\right)\)
