Cho phương trình \(4{{\log }_{9}}^{2}x+m{{\log }_{\frac{1}{3}}}x+\frac{1}{6}{{\log }_{\frac{1}{\sqrt{3}}}}x+m-\frac{2}{9}=0\) ( \(m\)là tham số ). Tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm \({{x}_{1}}\), \({{x}_{2}}\) thỏa mãn \({{x}_{1}}.{{x}_{2}}=3\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có: \(4{{\log }_{9}}^{2}x+m{{\log }_{\frac{1}{3}}}x+\frac{1}{6}{{\log }_{\frac{1}{\sqrt{3}}}}x+m-\frac{2}{9}=0\) Đk: \(x>0\)
\(\Leftrightarrow 4{{\left( {{\log }_{{{3}^{2}}}}x \right)}^{2}}+m{{\log }_{{{3}^{-1}}}}x+\frac{1}{6}{{\log }_{{{3}^{\frac{-1}{2}}}}}x+m-\frac{2}{9}=0\)
\(\Leftrightarrow 4{{\left( \frac{1}{2}{{\log }_{3}}x \right)}^{2}}-m{{\log }_{3}}x-\frac{1}{3}{{\log }_{3}}x+m-\frac{2}{9}=0\)
\(\Leftrightarrow {{\log }_{3}}^{2}x-\left( m+\frac{1}{3} \right){{\log }_{3}}x+m-\frac{2}{9}=0\quad \left( 1 \right)\)
Đặt \(t={{\log }_{3}}x\). Khi đó phương trình \(\left( 1 \right)\)\(\Leftrightarrow {{t}^{2}}-\left( m+\frac{1}{3} \right)t+m-\frac{2}{9}=0\quad \left( 2 \right)\)
Phương trình đã cho có hai nghiệm \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\) thỏa mãn \({{x}_{1}}.{{x}_{2}}=3\)\(\Leftrightarrow {{\log }_{3}}{{x}_{1}}.{{x}_{2}}=1\)
\(\Leftrightarrow {{\log }_{3}}{{x}_{1}}+{{\log }_{3}}{{x}_{2}}=1\Leftrightarrow {{t}_{1}}+{{t}_{2}}=1\)
(Với \({{t}_{1}}={{\log }_{3}}{{x}_{1}}\) và \({{t}_{2}}={{\log }_{3}}{{x}_{2}}\) )
Áp dụng hệ thức Vi-et cho phương trình \(\left( 2 \right)\)
Ta có \({{t}_{1}}+{{t}_{2}}=1\Leftrightarrow \frac{-b}{a}=1\Leftrightarrow \left( m+\frac{1}{3} \right)=1\Leftrightarrow m=\frac{2}{3}\)
Vậy \(0<m<\frac{3}{2}\) là mệnh đề đúng.
