Gọi \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\) là hai nghiệm của phương trình \({{2}^{{{x}^{2}}+4}}={{2}^{2\left( {{x}^{2}}+1 \right)}}+\sqrt{{{2}^{2\left( {{x}^{2}}+2 \right)}}-{{2}^{{{x}^{2}}+3}}+1}\). Khi đó, tổng hai nghiệm bằng?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\({{2}^{{{x}^{2}}+4}}={{2}^{2\left( {{x}^{2}}+1 \right)}}+\sqrt{{{2}^{2\left( {{x}^{2}}+2 \right)}}-{{2}^{{{x}^{2}}+3}}+1}\Leftrightarrow {{8.2}^{{{x}^{2}}+1}}={{2}^{2\left( {{x}^{2}}+1 \right)}}+\sqrt{{{4.2}^{2\left( {{x}^{2}}+1 \right)}}-{{4.2}^{{{x}^{2}}+1}}+1}\)
Đặt \(t={{2}^{{{x}^{2}}+1}}\left( t\ge 2 \right)\), phương trình trên tương đương với
\(8t={{t}^{2}}+\sqrt{4{{t}^{2}}-4t+1}\Leftrightarrow {{t}^{2}}-6t-1=0\Leftrightarrow t=3+\sqrt{10}\) (vì \(t\ge 2\)). Từ đó suy ra
\({2^{{x^2} + 1}} = 3 + \sqrt {10} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x_1} = \sqrt {{{\log }_2}\frac{{3 + \sqrt {10} }}{2}} \\ {x_2} = - \sqrt {{{\log }_2}\frac{{3 + \sqrt {10} }}{2}} \end{array} \right.\)
Vậy tổng hai nghiệm bằng 0.
