Số nghiệm của phương trình \({{\log }_{3}}\left| {{x}^{2}}-\sqrt{2}x \right|={{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}-\sqrt{2}x+2 \right)\) là
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐK: \(x\ne 0;\,\,x\ne \sqrt{2}\).
Đặt \(t={{x}^{2}}-\sqrt{2}x\)\(\Rightarrow {{x}^{2}}-\sqrt{2}x+2=t+2\)
\(\Rightarrow {{\log }_{3}}\left| t \right|={{\log }_{5}}\left( t+2 \right)\).
Đặt \({{\log }_{3}}\left| t \right|={{\log }_{5}}\left( t+2 \right)=u\)
\(\left\{ \begin{array}{l} {\log _3}\left| t \right| = u\\ {\log _5}\left( {t + 2} \right) = u \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left| t \right| = {3^u}\\ t + 2 = {5^u} \end{array} \right.\)
\(\Rightarrow \left| {{5}^{u}}-2 \right|={{3}^{u}}\)
\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} {5^u} - 2 = {3^u}\\ {5^u} - 2 = - {3^u} \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} {5^u} + {3^u} = 2\\ {3^u} + 2 = {5^u} \end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} {5^u} + {3^u} = 2\quad \quad \quad \quad (1)\quad \\ {\left( {\frac{3}{5}} \right)^u} + 2{\left( {\frac{1}{5}} \right)^u} = 1\quad (2) \end{array} \right..\)
Xét \(\left( 1 \right):{{5}^{u}}+{{3}^{u}}=2\)
Ta thấy \(u=0\) là 1 nghiệm, dùng phương pháp hàm số hoặc dùng BĐT để chứng minh nghiệm \(u=0\) là duy nhất.
Với \(u=0\Rightarrow t=-1\Rightarrow {{x}^{2}}-\sqrt{2}x+1=0\), phương trình này vô nghiệm.
Xét \(\left( 2 \right):{{\left( \frac{3}{5} \right)}^{u}}+2{{\left( \frac{1}{5} \right)}^{u}}=1\)
Ta thấy \(u=1\) là 1 nghiệm, dùng phương pháp hàm số hoặc dùng BĐT để chứng minh nghiệm \(u=1\) là duy nhất.
Với \(u=0\Rightarrow t=3\Rightarrow {{x}^{2}}-\sqrt{2}x-3=0\), phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa \(x\ne 0;\,\,x\ne \sqrt{2}\).
Câu hỏi liên quan
-
Tìm \(m\) để bất phương trình \(m{{.9}^{x}}-(2m+1){{.6}^{x}}+m{{.4}^{x}}\le 0\) nghiệm đúng với mọi \(x\in \left( 0;1 \right)\).
-
Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để phương trình \(m{{.3}^{{{x}^{2}}-3x+2}}+{{3}^{4-{{x}^{2}}}}={{3}^{6-3x}}+m\) có đúng 3 nghiệm thực phân biệt.
-
Cho các phương trình:
\({{x}^{2017}}+{{x}^{2016}}+...+x-1=0\left( 1 \right)\)
\({{x}^{2018}}+{{x}^{2017}}+...+x-1=0\left( 2 \right)\)
Biết rằng phương trình (1),(2) có nghiệm duy nhất lần lượt là \(a\) và \)b\). Mệnh đề nào sau đây đúng.
-
Phương trình\(\begin{aligned} \log _{4}\left(3.2^{x}\right)=x-1 \end{aligned}\) có nghiệm là x0 thì nghiệm x0 thuộc khoảng nào sau đây
-
Phương trình \(\log _{x} 2-\log _{16} x=0\) có tích các nghiệm là:
-
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \({{3}^{x}}=mx+1\) có hai nghiệm phân biệt?
-
Tập nghiệm của phương trình \(2^{x^{2}-5 x+6}=1\) là
-
Phương trình \((3+\sqrt{5})^{x}+(3-\sqrt{5})^{x}=3.2^{x}\) có tổng các nghiệm là
-
Tìm tập hợp nghiệm của phương trình \(\displaystyle \frac{{{{\log }_2}x}}{{{{\log }_4}2x}} = \frac{{{{\log }_8}4x}}{{{{\log }_{16}}8x}}\).
-
Cho các số thực \(a,b>1\) và phương trình \({{\log }_{a}}\left( ax \right){{\log }_{b}}\left( bx \right)=2018\) có hai nghiệm phân biệt \(m\)
-
Phương trình \(\log _{3}\left(x^{2}+x+1\right)=x(2-x)+\log _{3} x\) có bao nhiêu nghiệm
-
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \frac{{x - 2}}{{x + 1}}\) trên đoạn [1;2] là
-
\(\text { Số nghiệm của phương trình } \log _{3}(2 x+1)+\log _{3}(x-3)=2 \text { là }\) -
Phương trình \(\begin{aligned} \log _{49} x^{2}+\frac{1}{2} \log _{7}(x-1)^{2}=\log _{7}\left(\log _{\sqrt{3}} 3\right) \end{aligned}\) có nghiệm là:
-
Tìm tập nghiệm S của phương trình: \( {4^{x + 1}} + {4^{x - 1}} = 272\)
-
Tìm giá trị của tham số \(m\) để phương trình \(\log _{2}^{2}x+\sqrt{\log _{2}^{2}x+1}-2m-5=0\) có nghiệm trên đoạn \(\left[ 1;{{2}^{\sqrt{3}}} \right].\)
-
Phương trình sau có bao nhiêu nghiệm: \({{\log }_{4}}{{\left( x+1 \right)}^{2}}+2={{\log }_{\sqrt{2}}}\sqrt{4-x}+{{\log }_{8}}{{\left( 4+x \right)}^{3}}\)
-
Giải phương trình \(9^{\frac{x}{2}}+9 \cdot\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2 x+2}-4=0\)
-
Phương trình \(\displaystyle {9^x} - {3^x} - 6 = 0\) có nghiệm là:
-
Số nghiệm của phương trình \(\log _{2} x \cdot \log _{3}(2 x-1)=2 \log _{2} x\) là
