Tìm tất cả các giá trị thực của \(m\) để phương trình \(2{{\log }_{2}}\left| x \right|+{{\log }_{2}}\left| x+3 \right|=m\) có ba nghiệm thực phân biệt.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐiều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} x \ne - 3\\ x \ne 0 \end{array} \right.\)
\(2{{\log }_{2}}\left| x \right|+{{\log }_{2}}\left| x+3 \right|=m\Leftrightarrow {{\log }_{2}}{{x}^{2}}\left| x+3 \right|=m\Leftrightarrow {{x}^{2}}\left| x+3 \right|={{2}^{m}}\)
Xét hàm số: \(y={{x}^{2}}\left| x+3 \right|\) với \(x\in \mathbb{R}\backslash \left\{ -3;0 \right\}\)
\(\Rightarrow y' = \left\{ \begin{array}{l} 3{x^2} + 6x\,\,\,\,x > - 3\\ - 3{x^2} - 6x\,\,\,\,x < - 3 \end{array} \right.\)
Bảng biến thiên
.png)
Từ bảng biến thiên ta có phương trình có hai nghiệm khi: \(\left\{ \begin{array}{l} {2^m} = 0\\ {2^m} > 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow m > 2\)
