Cho các số thực \(a,b>1\) và phương trình \({{\log }_{a}}\left( ax \right){{\log }_{b}}\left( bx \right)=2018\) có hai nghiệm phân biệt \(m\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có phương trình tương đương với:
\(\left( 1+{{\log }_{a}}x \right)\left( 1+{{\log }_{b}}x \right)=2018\Leftrightarrow {{\log }_{a}}x{{\log }_{b}}x+{{\log }_{a}}x+{{\log }_{b}}x+1=2018\)
\(\Leftrightarrow {{\log }_{b}}{{\left( {{\log }_{a}}x \right)}^{2}}+\left( 1+{{\log }_{b}}a \right){{\log }_{a}}x-2017=0\).
Khi đó theo Viet ta có:
\({{\log }_{a}}m+{{\log }_{a}}n=-\frac{1+{{\log }_{b}}a}{{{\log }_{b}}a}=-{{\log }_{a}}b-1={{\log }_{a}}\frac{1}{ab}\Leftrightarrow mn=\frac{1}{ab}\)
Vì áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có \(P=\left( 4{{a}^{2}}+9{{b}^{2}} \right)\left( \frac{36}{{{a}^{2}}{{b}^{2}}}+1 \right)\ge 2\sqrt{4{{a}^{2}}.9{{b}^{2}}}.2\sqrt{\frac{36}{{{a}^{2}}{{b}^{2}}}.1}=144\)
Dấu bằng đạt tại \(4{{a}^{2}}=9{{b}^{2}},\frac{36}{{{a}^{2}}{{b}^{2}}}=1\Rightarrow a=3,b=2\).
