Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình:\(4^{x}-(m+3) \cdot 2^{x+1}+m+9=0\) có hai nghiệm dương phân biệt
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\text { Đặt: } t=2^{x}(x>0 \Rightarrow t>1) \text { , phương trình đã cho trở thành: } t^{2}-2(m+3) t+m+9=0 \text { . }\)
Bài toán trở thành: Tìm các giá trị nguyên của tham số m để phương trình:\(t^{2}-2(m+3) t+m+9=0\) có hai nghiệm phân biệt \(t_{1}, t_{2}\) thỏa mãn \(1<t_{1}<t_{2}.\)
\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array} { l } { \Delta ^ { \prime } = m ^ { 2 } + 5 m > 0 } \\ { ( t _ { 1 } - 1 ) ( t _ { 2 } - 1 ) > 0 } \\ { \frac { S } { 2 } = m + 3 > 1 } \end{array} \left\{\begin{array}{l} \Delta^{\prime}=m^{2}+5 m>0 \\ t_{1} t_{2}-\left(t_{1}+t_{2}\right)+1>0(*) \\ \frac{S}{2}=m+3>1 \end{array}\right.\right.\)
\(\begin{aligned} &\text { Phương trình: } t^{2}-2(m+3) t+m+9=0 \text { có hai nghiệm phân biệt } t_{1}, t_{2} \text { nên theo Viet ta có: }\\ &\left\{\begin{array}{l} t_{1}+t_{2}=2(m+3) \\ t_{1} \cdot t_{2}=m+9 \end{array}\right. \end{aligned}\)
\(\text { Thay vào hệ }\left({ }^{*}\right) \text { ta được }\left\{\begin{array} { l } { m ^ { 2 } + 5 m > 0 } \\ { - m + 4 > 0 } \\ { m + 3 > 1 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {\left[\begin{array}{l} m<-5 \\ m>0 \end{array}\right.} \\ m<4 \\ m>-2 \end{array} \Leftrightarrow 0<m<4\right.\right.\)
\(\text { Vì } m \in \mathbb{Z}, 0<m<4 \Rightarrow m \in\{1 ; 2 ; 3\} \text { . }\)
Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán
