Phương trình \(\displaystyle {32^{\frac{{x + 5}}{{x - 7}}}} = 0,{25.125^{\frac{{x + 17}}{{x - 3}}}}\) có bao nhiêu nghiệm?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\displaystyle {32^{\frac{{x + 5}}{{x - 7}}}} = 0,{25.125^{\frac{{x + 17}}{{x - 3}}}}\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {\left( {{2^5}} \right)^{\frac{{x + 5}}{{x - 7}}}} = \frac{1}{4}.{\left( {{5^3}} \right)^{\frac{{x + 17}}{{x - 3}}}}\\
\Leftrightarrow {4.2^{5.\frac{{x + 5}}{{x - 7}}}} = {5^{3.\frac{{x + 17}}{{x - 3}}}}\\
\Leftrightarrow {2^2}{.2^{\frac{{5x + 25}}{{x - 7}}}} = {5^{\frac{{3x + 51}}{{x - 3}}}}\\
\Leftrightarrow {2^{2 + \frac{{5x + 25}}{{x - 7}}}} = {5^{\frac{{3x + 51}}{{x - 3}}}}
\end{array}\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow {2^{\frac{{7x + 11}}{{x - 7}}}} = {5^{\frac{{3x + 51}}{{x - 3}}}}\)
Lấy logarit cơ số 2 cả hai vế, ta được:
\({\log _2}\left( {{2^{\frac{{7x + 11}}{{x - 7}}}}} \right) = {\log _2}\left( {{5^{\frac{{3x + 51}}{{x - 3}}}}} \right)\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow \frac{{7x + 11}}{{x - 7}} = \frac{{3x + 51}}{{x - 3}}{\log _2}5\)
\(\Rightarrow \left( {7x + 11} \right)\left( {x - 3} \right) \) \(= \left( {3x + 51} \right)\left( {x - 7} \right){\log _2}5\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow 7{x^2} - 10x - 33\)\(\displaystyle = (3{x^2} + 30x - 357){\log _2}5\) (với \(\displaystyle x \ne 7,x \ne 3\))
\(\displaystyle \Leftrightarrow (7 - 3{\log _2}5){x^2} - 2(5 + 15{\log _2}5)x\)\(\displaystyle - (33 - 357{\log _2}5) = 0\)
Ta có: \(\displaystyle \Delta ' = {(5 + 15{\log _2}5)^2}\)\(\displaystyle + (7 - 3{\log _2}5)(33 - 357{\log _2}5)\)\(\displaystyle = 1296\log _2^25 - 2448{\log _2}5 + 256 > 0\)
Phương trình đã cho có hai nghiệm: \(\displaystyle x = \frac{{5 + 15{{\log }_2}5 \pm \sqrt {\Delta '} }}{{7 - 3{{\log }_2}5}}\), đều thỏa mãn điều kiện \(\displaystyle x \ne 7,x \ne 3\)
