Tìm các nghiệm của phương trình trên khoảng \( \left( {\frac{\pi }{4};\frac{{5\pi }}{4}} \right)\) rồi tìm giá trị gần đúng của chúng, chính xác đến hàng phần trăm:
\( \cos x + \sin x + \frac{1}{{\sin x}} + \frac{1}{{\cos x}} = \frac{{10}}{3}\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có:\( \cos x + \sin x + \frac{1}{{\sin x}} + \frac{1}{{\cos x}} = \frac{{10}}{3} \Leftrightarrow \cos x + \sin x + \frac{{\sin x + \cos x}}{{\sin x\cos x}} = \frac{{10}}{3}\)
Đặt t=cosx+sinx với \( \left| t \right| \le \sqrt 2 \). Khi đó \( \sin x\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2}\) và phương trình trở thành
\( t + \frac{{2t}}{{{t^2} - 1}} = \frac{{10}}{3}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (1)\)
Với điều kiện t≠±1, ta có:
\( (1) \Leftrightarrow 3{t^2} - 10{t^2} + 3t + 10 = 0 \Leftrightarrow \left( {t - 2} \right)\left( {3{t^2} - 4t - 5} \right) = 0\)
Phương trình này có ba nghiệm
\( {t_1} = 2,{t_2} = \frac{{2 + \sqrt {19} }}{3};{t_3} = \frac{{2 - \sqrt {19} }}{3}.\)
Tuy nhiên, chỉ có t3 là thỏa mãn điều kiện. Do đó phương trình đa cho tương đương với \( \cos x + \sin x = \frac{{2 - \sqrt {19} }}{3} \Leftrightarrow \cos \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{2 - \sqrt {19} }}{{3\sqrt 2 }}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (2)\)
Điều kiện \( \frac{\pi }{4} < x < \frac{{5\pi }}{4}\) tương đương với điều kiện \( 0 < x - \frac{\pi }{4} < \pi \). Với điều kiện đó ta có
\( (2) \Leftrightarrow x - \frac{\pi }{4} = \arccos \frac{{2 - \sqrt {19} }}{{3\sqrt 2 }} \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + \arccos \frac{{2 - \sqrt {19} }}{{3\sqrt 2 }}\)
Lấy các giá trị gần đúng
\(\begin{array}{l} \frac{\pi }{4} \approx 0,785\\ \arccos \frac{{2 - \sqrt {19} }}{{3\sqrt 2 }} \approx 2,160\\ \to x \approx 2,95. \end{array}\)
