Tam giác ABC có A B=3, BC=8 . Gọi M là trung điểm của BC . Biết \(\cos A M B=\frac{5 \sqrt{13}}{26}\) và AM > 3 . Tính độ dài cạnh AC
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có: M là trung điểm của BC\(\Rightarrow B M=\frac{B C}{2}=4\)
Trong tam giác ABM ta có: \(\cos \widehat{ A M B}=\frac{A M^{2}+B M^{2}-A B^{2}}{2 A M \cdot B M}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow A M^{2}-2 A M \cdot B M \cdot \cos \widehat{ A M B}+B M^{2}-A B^{2}=0 \\ \Leftrightarrow A M^{2}-\frac{20 \sqrt{13}}{13} A M+7=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} A M=\sqrt{13}>3(\text { thỏa mãn }) \\ A M=\frac{7 \sqrt{13}}{13}<3(\text { loại }) \end{array}\right. \end{array}\)
\(\Rightarrow A M=\sqrt{13}\)
Ta có: AMB và AMC là hai góc kề bù. \(\Rightarrow \cos \widehat{A M C}=-\cos\widehat{ A M B}=-\frac{5 \sqrt{13}}{26}\)
Trong tam giác AMC ta có:
\(\begin{array}{l} A C^{2}=A M^{2}+C M^{2}-2 A M \cdot C M \cdot \cos\widehat{ A M C} \\ =13+16-2 \cdot \sqrt{13} \cdot 4 \cdot\left(-\frac{5 \sqrt{13}}{26}\right)=49 \Rightarrow A C=7 \end{array}\)