Số họ nghiệm của phương trình \(2\sqrt {2} (\sin x + \cos x)\cos x = 3 + \cos 2x\) là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(2\sqrt {2} (\sin x + \cos x) \cos x= 3 + \cos 2x\)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow 2\sqrt 2 \sin x\cos x + 2\sqrt 2 {\cos ^2}x \cr&= 3{\sin ^2}x + 3{\cos ^2}x + {\cos ^2}x - {\sin ^2}x \cr
& \Leftrightarrow \left( {2\sqrt 2 - 4} \right){\cos ^2}x \cr&+ 2\sqrt 2 \sin x\cos x - 2{\sin ^2}x = 0 \cr} \)
Xét \(\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi \) thì \({\cos ^2}x = 1\), thay vào phương trình trên được:
\(\left( {2\sqrt 2 - 4} \right).1 + 0 - 0 = 2\sqrt 2 - 4 \ne 0\) nên \(x = k\pi \) không là nghiệm của phương trình.
Chia cả hai vế của pt cho \({\sin ^2}x \ne 0\) ta được:
\(\left( {2\sqrt 2 - 4} \right){\cot ^2}x + 2\sqrt 2 \cot x - 2 = 0\)
Đặt \(t = \cot x\) ta có phương trình:
\(\left( {2\sqrt 2 - 4} \right){t^2} + 2\sqrt 2 t - 2 = 0\)
Có \(\Delta ' = 2 + 2\left( {2\sqrt 2 - 4} \right) = 4\sqrt 2 - 6 < 0\) nên phương trình vô nghiệm.
Vậy phương trình vô nghiệm.
