Có bao nhiêu giá trị nguyên của để phương trình \(\cos ^{3} 2 x-\cos ^{2} 2 x-a \sin ^{2} x=0\) có nghiệm \(x \in\left(0 ; \frac{\pi}{6}\right) ?\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\cos ^{3} 2 x-\cos ^{2} 2 x-a \sin ^{2} x=0\)
\(\Leftrightarrow \cos ^{3} 2 x-\cos ^{2} 2 x-a \frac{1-\cos 2 x}{2}=0\)
\(\Leftrightarrow 2 \cos ^{3} 2 x-2 \cos ^{2} 2 x+a \cos 2 x-a=0 \Leftrightarrow(\cos 2 x-1)\left(2 \cos ^{2} 2 x-a\right)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} \cos 2 x=1(1) \\ \cos ^{2} 2 x=-\frac{a}{2}(2) \end{array}\right.\)
\((1) \Rightarrow 2 x=k 2 \pi \Leftrightarrow x=k \pi(k \in \mathbb{Z})\), các nghiệm này không thuộc \(\left(0 ; \frac{\pi}{6}\right)\)
Giải \(\text { (2) có } x \in\left(0 ; \frac{\pi}{6}\right) \Rightarrow 2 x \in\left(0 ; \frac{\pi}{3}\right) \Rightarrow \frac{1}{2}<\cos 2 x<1 \Rightarrow \frac{1}{4}<\cos ^{2} 2 x<1\)
Suy ra phương trình (2) có nghiệm thuộc \(\left(0 ; \frac{\pi}{6}\right) \Leftrightarrow \frac{1}{4}<\frac{-a}{2}<1 \Leftrightarrow-2
Vậy có 1 giá trị nguyên của a là -1.
