Nghiệm của phương trình \(4\sin x\cos \left( {x - {\pi \over 2}} \right) + 4\sin\left( {\pi + x} \right)\cos x \)\(+ 2\sin \left( {{{3\pi } \over 2} - x} \right)\cos \left( {\pi + x} \right) = 1\) là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có:
\(\cos \left( {x - {\pi \over 2}} \right) = \sin x\)
\(\sin \left( {x + \pi } \right) = - \sin x\)
\(\sin \left( {{{3\pi } \over 2} - x} \right) = - \cos x\)
\(\cos \left( {\pi + x} \right) = - \cos x\)
Khi đó:
\(\begin{array}{l}4\sin x\cos \left( {x - \dfrac{\pi }{2}} \right) + 4\sin \left( {\pi + x} \right)\cos x\\ + 2\sin \left( {\dfrac{{3\pi }}{2} - x} \right)\cos \left( {\pi + x} \right) = 1\\ \Leftrightarrow 4\sin x.\sin x + 4\left( { - \sin x} \right)\cos x\\ + 2\left( { - \cos x} \right).\left( { - \cos x} \right) = 1\\ \Leftrightarrow 4{\sin ^2}x - 4\sin x\cos x\\ + 2{\cos ^2}x = {\sin ^2}x + {\cos ^2}x\\ \Leftrightarrow 3{\sin ^2}x - 4\sin x\cos x + {\cos ^2}x = 0\end{array}\)
Nếu \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \), thay vào phương trình được:
\(3 - 0 + 0 = 0\) (vô lí) nên \(x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \) không là nghiệm của phương trình.
Chia cả hai vế của phương trình cho \({\cos ^2}x \ne 0\) ta được:
\(\begin{array}{l}3{\tan ^2}x - 4\tan x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = 1\\\tan x = \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\x = \arctan \dfrac{1}{3} + k\pi \end{array} \right.\end{array}\)
Vậy phương trình có nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi ,x = \arctan \dfrac{1}{3} + k\pi \).
