Phương trình \(2 \tan x+\cot 2 x=2 \sin 2 x+\frac{1}{\sin 2 x}\) có nghiệm là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐK: \(\sin 2 x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq k \frac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}\)
Ta có
\(\begin{array}{l} 2 \tan x+\cot 2 x=2 \sin 2 x+\frac{1}{\sin 2 x} \\ \Leftrightarrow \frac{2 \sin x}{\cos x}+\frac{\cos 2 x}{\sin 2 x}=2 \sin 2 x+\frac{1}{\sin 2 x} \Leftrightarrow 4 \sin ^{2} x+\cos 2 x=2 \sin ^{2} 2 x+1 \\ \Leftrightarrow 4 \sin ^{2} x+1-2 \sin ^{2} x=2 \sin ^{2} 2 x+1 \Leftrightarrow 2 \sin ^{2} x-8 \sin ^{2} x \cos ^{2} x=0 \\ \Leftrightarrow \sin ^{2} x\left(1-4 \cos ^{2} x\right)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} \sin x=0 \\ 1-4 \cos ^{2} x=0 \end{array}\right. \end{array}\)
Do điều kiện nên
\(1-2(1+\cos 2 x)=0 \Leftrightarrow \cos 2 x=-\frac{1}{2} \Leftrightarrow 2 x=\pm \frac{2 \pi}{3}+k 2 \pi \Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi}{3}+k \pi,(k \in \mathbb{Z})\)
