Nghiệm của phương trình \({\tan ^2}x + \cos 4x = 0\) là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có \({\tan ^2}x = {{{{\sin }^2}x} \over {{{\cos }^2}x}} = {{1 - \cos 2x} \over {1 + \cos 2x}}\) và \(\cos 4x = 2{\cos ^2}2x - 1.\)
Điều kiện \(\cos 2x \ne - 1,\) phương trình đã cho có thể biến đổi như sau:
\({\tan ^2}x + \cos 4x = 0 \)
\(\Leftrightarrow {{1 - \cos 2x} \over {1 + \cos 2x}} = 1 -2 {\cos ^2}2x\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 1 - \cos 2x = \left( {1 - 2{{\cos }^2}2x} \right)\left( {1 + \cos 2x} \right)\\
\Leftrightarrow 1 - \cos 2x = 1 - 2{\cos ^2}2x + \cos 2x - 2{\cos ^3}2x\\
\Leftrightarrow 2{\cos ^3}2x + 2{\cos ^2}2x - 2\cos 2x = 0\\
\Leftrightarrow 2\cos 2x\left( {{{\cos }^2}2x + \cos 2x - 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos 2x = 0\\
{\cos ^2}2x + \cos 2x - 1 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos 2x = 0\\
\cos 2x = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\\
\cos 2x = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}\left( {VN} \right)
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\
2x = \pm \arccos \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2} + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\\
x = \pm \frac{1}{2}\arccos \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2} + k\pi
\end{array} \right.
\end{array}\)
