Phương trình \(\left(\sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}\right)^{2}+\sqrt{3} \cos x=2\) có nghiệm dương nhỏ nhất là a và nghiệm âm lớn nhất là b thì a + b là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có:
\(\begin{array}{l} \left(\sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}\right)^{2}+\sqrt{3} \cos x=2 \\ \Leftrightarrow 1+2 \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2}+\sqrt{3} \cos x=2 \\ \Leftrightarrow \sin x+\sqrt{3} \cos x=1 \Leftrightarrow \sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2} \\ \end{array}\)
\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} x+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{6}+k 2 \pi \\ x+\frac{\pi}{3}=\frac{5 \pi}{6}+k 2 \pi \end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} x=-\frac{\pi}{6}+k 2 \pi \\ x=\frac{\pi}{2}+k 2 \pi \end{array}(k \in \mathbb{Z})\right.\right.\)
Nghiệm dương nhỏ nhất là \(\frac{\pi}{2}\) , nghiệm âm lớn nhất là \(\frac{\pi}{6}\)
Vậy \(a+b=\frac{\pi}{3}\)
