\(\text { Phương trình } \sin 2 x=\frac{1}{2} \text { có bao nhiêu nghiệm trên khoảng }\left(0 ; \frac{15 \pi}{2}\right) ?\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\text { Ta có: } \sin 2 x=\frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin 2 x=\sin \frac{\pi}{6} \Leftrightarrow\left[\begin{array} { l } { 2 x = \frac { \pi } { 6 } + k 2 \pi } \\ { 2 x = \pi - \frac { \pi } { 6 } + k 2 \pi } \end{array} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x=\frac{\pi}{12}+k \pi \\ x=\frac{5 \pi}{12}+k \pi \end{array}(k \in \mathbb{Z})\right.\right. \text {. }\)
+Với \(x=\frac{\pi}{12}+k \pi\)
Vì \(0<x<\frac{15 \pi}{2} \Leftrightarrow 0<\frac{\pi}{12}+k \pi<\frac{15 \pi}{2} \Leftrightarrow-\frac{1}{12}<k<\frac{89}{12} \Rightarrow k=\{0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7\}.\)
Vậy có tất cả có 8 giá trị k tương ứng với trường hợp 1 có 8 nghiệm là:
\(x=\frac{\pi}{12} ; x=\frac{13 \pi}{12} ; x=\frac{25 \pi}{12} ; x=\frac{37 \pi}{12} ; x=\frac{49 \pi}{12} ; x=\frac{61 \pi}{12} ; x=\frac{73 \pi}{12} ; x=\frac{85 \pi}{12} \text {. }\)
+Với \(x=\frac{5 \pi}{12}+k \pi\)
Vì \(0<x<\frac{15 \pi}{2} \Leftrightarrow 0<\frac{5 \pi}{12}+k \pi<\frac{15 \pi}{2} \Leftrightarrow-\frac{5}{12}<k<\frac{85}{12} \stackrel{k \in \mathbb{Z}}{\Rightarrow} k=\{0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7\}
\)
Vậy có tất cả có 8 giá trị k tương ứng với trường hợp 2 có 8 nghiệm là:
\(x=\frac{5 \pi}{12} ; x=\frac{17 \pi}{12} ; x=\frac{29 \pi}{12} ; x=\frac{41 \pi}{12} ; x=\frac{53 \pi}{12} ; x=\frac{65 \pi}{12} ; x=\frac{77 \pi}{12} ; x=\frac{89 \pi}{12}\)
Vậy có tất cả 16 nghiệm thỏa mãn yêu cầu.
