Phương trình \(\sqrt{\sin ^{2} x+1}=\sqrt{2} \sin \left(\frac{\pi}{4}-x\right)+\sqrt{\cos ^{2} x+1}(*)\) có tổng các nghiệm trong khoảng là \(\left(0 ; \frac{\pi}{2}\right)\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\sqrt{\sin ^{2} x+1}=\sqrt{2} \sin \left(\frac{\pi}{4}-x\right)+\sqrt{\cos ^{2} x+1}(*)\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{\sin ^{2} x+1}=-\sin x+\cos x+\sqrt{\cos ^{2} x+1}\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{\sin ^{2} x+1}+\sin x=\cos x+\sqrt{\cos ^{2} x+1}(1)\)
Xét hàm số \(f(t)=\sqrt{t^{2}+1}+t \text { trên }(0 ; 1)\)
Với \(\forall t_{1}, t_{2} \in(0 ; 1) \text { va } t_{1} \neq t_{2}\) ta xét biểu thức:
\(\begin{array}{l} \frac{f\left(t_{1}\right)-f\left(t_{2}\right)}{t_{1}-t_{2}}=\frac{\sqrt{t_{1}^{2}+1}+t_{1}-\sqrt{t_{2}^{2}+1}-t_{2}}{t_{1}-t_{2}}=\frac{t_{1}^{2}-t_{2}^{2}}{(\sqrt{t_{1}^{2}+1}+\sqrt{t_{2}^{2}+1})\left(t_{1}-t_{2}\right)}+\frac{t_{1}-t_{2}}{t_{1}-t_{2}} \\ =\frac{t_{1}^{2}-t_{2}^{2}}{(\sqrt{t_{1}^{2}+1}+\sqrt{t_{2}^{2}+1})\left(t_{1}-t_{2}\right)}+1>0 \end{array}\)
Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên (0;1) , Suy ra phương trình (1) tương đương
\(f(\sin x)=f(\cos x) \Leftrightarrow \sin x=\cos x \Leftrightarrow \tan x=1 \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+k \pi,(k \in \mathbb{Z})\)
Vậy phương trình (*) có 1 nghiệm thuộc \(\left(0 ; \frac{\pi}{2}\right)\) là \(\frac{\pi}{4}\)
