Phương trình \(\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\sin 2 x}=\frac{1}{\sin 4 x}\) có tổng các nghiệm trên \((0 ; \pi)\) là?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐK: \(\left\{\begin{array}{l} \cos x \neq 0 \\ \sin 2 x \neq 0 \\ \sin 4 x \neq 0 \end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} \cos x \neq 0 \\ \sin x \neq 0 \\ \cos 2 x \neq 0 \end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} \cos x \neq 0 \\ \sin x \neq 0 \\ \sin x \neq \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} \sin x \neq\pm 1 \\ \sin x \neq 0 \\ \sin x \neq \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array}\right.\right.\right.\right.\)
\(\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\sin 2 x}=\frac{1}{\sin 4 x}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{1}{\cos x}+\frac{1}{2 \sin x \cos x}=\frac{1}{4 \sin x \cos x \cos 2 x} \\ \Leftrightarrow 2 \sin x \cos 2 x+\cos 2 x-1=0 \\ \Leftrightarrow 2 \sin x\left(1-2 \sin ^{2} x\right)+1-2 \sin ^{2} x-1=0 \\ \Leftrightarrow 2 \sin x\left(1-2 \sin ^{2} x-\sin x\right)=0 \\ \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} \sin x=0(loại) \\ 1-2 \sin ^{2} x-\sin x=0 \end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} \sin x=-1(loại) \\ \sin x=\frac{1}{2} \end{array}\right.\right. \end{array}\)
\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} x=\frac{\pi}{6}+k 2 \pi \\ x=\frac{5 \pi}{6}+k 2 \pi \end{array} k \in \mathbb{Z}\right.\)
Phương trình có hai nghiệm trên \((0;\pi)\) là \(\mathrm{x}=\frac{\pi}{6} \text { và } \mathrm{x}=\frac{5 \pi}{6}\)
Tổng hai nghiệm là \(\frac{\pi}{6}+\frac{5 \pi}{6}=\pi\)
