Một con tàu biển M rời cảng O và chuyển động thẳng theo phương tạo với bờ biển một góc 60°. Trên bờ biển có hai đài quan sát A và B nằm về hai phía so với cảng O và lần lượt cách cảng O khoảng cách 1km và 2km (Hình 2). Tìm x để khoảng cách từ tàu đến B bằng 4/5 khoảng cách từ tàu đến A?
.png)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiXét tam giác MOB có:
Áp dụng định lí côsin, ta có:
\(\begin{array}{l} M{B^2}\; = {\rm{ }}O{M^2}\; + {\rm{ }}O{B^2}\;-{\rm{ }}2.OM.OB.cos\widehat {BOM}\\ \begin{array}{*{20}{l}} { \Leftrightarrow {\rm{ }}M{B^2}\; = {\rm{ }}{x^2}\; + {\rm{ }}{2^2}\;-{\rm{ }}2.x.2.cos60^\circ }\\ { \Leftrightarrow {\rm{ }}M{B^2}\; = {\rm{ }}{x^2}\; + {\rm{ }}4{\rm{ }}-{\rm{ }}2x} \end{array}\\ \Leftrightarrow {\rm{ }}MB{\rm{ }} = \sqrt {{x^2} - 2x + 4} (km) \end{array}\)
Ta lại có:
\(\widehat {AOM} + \widehat {BOM} = {180^0} \Rightarrow \widehat {AOM} = {180^0} - \widehat {BOM} = {180^0} - {60^0} = {120^0}\)
Xét tam giác MOA có:
Áp dụng định lí côsin, ta có:
\(\begin{array}{l} M{A^2}\; = {\rm{ }}O{M^2}\; + {\rm{ }}O{A^2}\;-{\rm{ }}2.OM.OA.cos\widehat {AOM}\\ \begin{array}{*{20}{l}} { \Leftrightarrow {\rm{ }}M{A^2}\; = {\rm{ }}{x^2}\; + {\rm{ }}{1^2}\;-{\rm{ }}2.x.1.cos120^\circ }\\ { \Leftrightarrow {\rm{ }}M{A^2}\; = {\rm{ }}{x^2}\; + {\rm{ }}1{\rm{ }} + {\rm{ }}x} \end{array}\\ \Leftrightarrow {\rm{ }}MA{\rm{ }} = \sqrt {{x^2} + x + 1} \end{array}\)
Vậy \(MA = \sqrt {{x^2} + x + 1} km;MB{\rm{ }} = \;\sqrt {{x^2} - 2x + 4} km\)
Để khoảng cách từ tàu đến B bằng 4/5 khoảng cách từ tàu đến A thì:
\(\begin{array}{*{20}{l}} {\sqrt {{x^2} - 2x + 4} = \frac{4}{5}\sqrt {{x^2} + x + 1} }\\ { \Rightarrow {x^2}\; - 2x + 4 = \frac{{16}}{{25}}({x^2}\; + x + 1)}\\ {\begin{array}{*{20}{l}} { \Rightarrow 25{x^2}\; - 50x + 100 = 16{x^2}\; + 16x + 16}\\ { \Rightarrow 9{x^2}\; - 66x + 84 = 0} \end{array}}\\ { \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = \frac{{11 - \sqrt {37} }}{3}}\\ {x = \frac{{11 + \sqrt {37} }}{3}} \end{array}} \right.} \end{array}\)
Thay lần lượt các giá trị trên vào phương trình đã cho ta thấy cả hai giá trị đều thỏa mãn.
Vậy với \({x = \frac{{11 - \sqrt {37} }}{3}}\) hoặc \({x = \frac{{11 + \sqrt {37} }}{3}}\) hì khoảng cách từ tàu đến B bằng 4/5 khoảng cách từ tàu đến A.
