Nếu lấy một số có hai chữ số chia cho tích hai chữ số của nó thì được thương là 2 và dư là 18. Nếu lấy tổng bình phương các chữ số của số đó cộng với 9 thì được số đã cho. Hãy tìm số đó.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi a là chữ số hàng chục, b là chữ số hàng đơn vị.
Điều kiện a, b nguyên \(1 \le a \le 9\) và \(0 \le b \le 9\).
Ta có số cần tìm là \(\overline {ab} = 10a + b\)
Vì \(\overline {ab} :ab = 2(\text { dư }\,18)\) nên
\(\overline {ab} = 2ab + 18 \Leftrightarrow 10a + b = 2ab + 18\)
Ta có hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}10a + b = 2ab + 18\\{a^2} + {b^2} + 9 = 10a + b\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow {a^2} + {b^2} + 9 = 2ab + 18\)\( \Leftrightarrow {(a - b)^2} = 9 \Rightarrow a - b = \pm 3\)
Trường hợp 1
\(a - b = 3\)\( \Leftrightarrow a = b + 3\)
Thay vào phương trình đầu của hệ phương trình ta được:
\(11b + 30 = 2(b + 3)b + 18\)\( \Leftrightarrow 2{b^2} - 5b - 12 = 0\)
Phương trình cuối có hai nghiệm: \({b_1} = 4,{b_2} = - \dfrac{3}{2}\).
Giá trị \({b_2} = - \dfrac{3}{2}\)không thỏa mãn điều kiện \(0 \le b \le 9\)nên bị loại.
Vậy b = 4, suy ra a = 7.
Trường hợp 2
\(a - b = - 3\)\( \Leftrightarrow a = b - 3\)
Thay vào phương trình của hệ phương trình ra được
\(11b - 30 = 2(b - 3)b + 18\)\( \Leftrightarrow 2{b^2} - 17b + 48 = 0\)
Phương trình này vô nghiệm.
Vậy số phải tìm là 74.
