GTNN của hàm số \(y = \sqrt {5 - 2{{\cos }^2}x{{\sin }^2}x} \) là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có: \(5 - 2{\cos ^2}x{\sin ^2}x = 5 - \dfrac{1}{2}{\sin ^2}2x\)
Do \(0 \le {\sin ^2}2x \le 1\)
\(\begin{array}{l}\Leftrightarrow - 1 \le - {\sin ^2}2x \le 0{\rm{ }}\\ \Leftrightarrow - \dfrac{1}{2} \le - \dfrac{1}{2}{\sin ^2}2x \le 0{\rm{ }}\\ \Leftrightarrow 5 - \dfrac{1}{2} \le 5 - \dfrac{1}{2}{\sin ^2}2x \le 5\\ \Leftrightarrow \dfrac{9}{2} \le 5 - \dfrac{1}{2}{\sin ^2}2x \le 5\\ \Leftrightarrow {\rm{ }}\dfrac{{3\sqrt 2 }}{2} \le \sqrt {5 - \dfrac{1}{2}{{\sin }^2}2x} \le \sqrt 5 \end{array}\)
Vậy hàm số \(y = \sqrt {5 - 2{{\cos }^2}x{{\sin }^2}x} \) có GTLN là \(\sqrt 5 \) đạt được khi \( - {\sin ^2}2x = 0 \Leftrightarrow \sin 2x = 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2x = k\pi \\ \Leftrightarrow x = k\dfrac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}\end{array}\)
Vậy GTNN là \(\dfrac{{3\sqrt 2 }}{2}\) đạt được khi \( - {\sin ^2}2x = - 1 \Leftrightarrow \sin 2x = \pm 1\)
\( \Leftrightarrow 2x = \pm \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \)
\(\Leftrightarrow x = \pm \dfrac{\pi }{4} + k\pi \)
\(\Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + k\dfrac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}\).
