Giải phương trình \(1+\cot 2 x=\frac{1-\cos 2 x}{\sin ^{2} 2 x}\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\text { Điều kiện: } \sin 2 x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq k \frac{\pi}{2}\)
\(1+\cot 2 x=\frac{1-\cos 2 x}{\sin ^{2} 2 x}\)
\(\Leftrightarrow 1+\cot 2 x=\frac{1-\cos 2 x}{1-\cos ^{2} 2 x} \Leftrightarrow 1+\cot 2 x=\frac{1}{1+\cos 2 x}\)
\(\Leftrightarrow 1+\frac{\cos 2 x}{\sin 2 x}=\frac{1}{1+\cos 2 x}\)
\(\begin{aligned} &\Leftrightarrow \sin 2 x(1+\cos 2 x)+\cos 2 x(1+\cos 2 x)=\sin 2 x \\ &\Leftrightarrow \sin 2 x \cos 2 x+\cos 2 x(1+\cos 2 x)=0 \Leftrightarrow \cos 2 x(\sin 2 x+\cos 2 x+1)=0 \\ &\Leftrightarrow\left[\begin{array}{c} \cos 2 x=0 \\ \sin 2 x+\cos 2 x=-1 \end{array}\right. \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &+\cos 2 x=0 \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+k \frac{\pi}{2} \\ &+\sin 2 x+\cos 2 x=-1 \Leftrightarrow \sin \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)=\sin \left(-\frac{\pi}{4}\right) \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} x=-\frac{\pi}{4}+k \pi \\ x=\frac{\pi}{2}+k \pi(loại) \end{array}\right. \end{aligned}\)
\(\text { Vậy phương trình có nghiệm: } x=\frac{\pi}{4}+k \frac{\pi}{2}\)
