Phương trình \(3\cos 2x + 2(1 + \sqrt 2 + \sin x)\sin x\)\( - 3 - \sqrt 2 = 0\) có nghiệm là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(3\cos 2x + 2(1 + \sqrt 2 + \sin x)\sin x \)\(- 3 - \sqrt 2 = 0\)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow 3\left( {1 - 2{{\sin }^2}x} \right) + 2{\sin ^2}x\cr&+ 2\left( {1 + \sqrt 2 } \right)\sin x - 3 - \sqrt 2 = 0 \cr
& \Leftrightarrow 4{\sin ^2}x - 2\left( {1 + \sqrt 2 } \right)\sin x + \sqrt 2 = 0 \cr} \)
Đặt \(t = \sin x\) ta được:
\(4{t^2} - 2\left( {1 + \sqrt 2 } \right)t + \sqrt 2 = 0\) (*)
Có \(\Delta ' = {\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^2} - 4\sqrt 2 \) \( = 3 - 2\sqrt 2 = {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^2}\)
Do đó phương trình (*) có nghiệm:
\(\begin{array}{l}{t_1} = \frac{{1 + \sqrt 2 + \sqrt 2 - 1}}{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\{t_2} = \frac{{1 + \sqrt 2 - \sqrt 2 + 1}}{4} = \frac{1}{2}\end{array}\)
Suy ra
\(\begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}\sin x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\\sin x = \frac{1}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \\x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\end{array}\)
Vậy \(x = {\pi \over 6} + 2k\pi ,x = {{5\pi } \over 6} + 2k\pi ,\) \(x = {\pi \over 4} + 2k\pi ,x = {{3\pi } \over 4} + 2k\pi \).
