Cho từ giác ABCD nội tiếp được và có các cạnh a,b,c,d. Diện tích tứ giác đó:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai
Gọi p là nửa chu vi tứ giác
Giả sử ABCD là tứ giác nội tiếp với độ dài cạnh là a,b,c,d
Khi đó:
\( \hat A + \hat C = {180^0} \to \sin C = \sin A;\cos C = - \cos A.\)
Ta có
\(\begin{array}{l} S = {S_{ABD}} + {S_{CDB}} = \frac{1}{2}ad\sin A + \frac{1}{2}bc\sin C\\ \Leftrightarrow 2S = (ad + bc)\sin A \to \sin A = \frac{{2S}}{{ad + bc}} \end{array}\)
Mặt khác, tam giác ABD có \( B{D^2} = {a^2} + {d^2} - 2ad\cos A\), còn tam giác CBD có \( B{D^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos C = {b^2} + {c^2} + 2bc\cos A\)
Suy ra
\( {a^2} + {d^2} - {b^2} - {c^2} = 2(ad + bc)\cos A \to \cos A = \frac{{{a^2} + {d^2} - {b^2} - {c^2}}}{{2(ad + bc)}}\)
Do
\( {\cos ^2}A + {\sin ^2}A = 1 \to 16{S^2} + {({a^2} + {d^2} - {b^2} - {c^2})^2} = 4{(ad + bc)^2}\)
Vậy
\(\begin{array}{l} 16{S^2} = {\left[ {2(ad + bc)} \right]^2} - {({a^2} + {d^2} - {b^2} - {c^2})^2}\\ = (2ad + 2bc + {a^2} + {d^2} - {b^2} - {c^2})(2ad + 2bc - {a^2} - {d^2} + {b^2} + {c^2})\\ = \left[ {{{(a + d)}^2} - {{(b - c)}^2}} \right]\left[ {{{(b + c)}^2} - {{(a - d)}^2}} \right]\\ = (a + d + b - c)(a + d - b + c)(b + c + a - d)(b + c - a + d)\\ = (2p - 2c)(2p - 2b)(2p - 2d)(2p - 2a)\\ = 16(p - a)(p - b)(p - c)(p - d)\\ \to S = \sqrt {(p - a)(p - b)(p - c)(p - d)} \end{array}\)
Câu hỏi liên quan
-
\(\text { Cho } A(4,3) ; B(2,7) ; C(-3,-8)\). Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.
-
Tính giá trị biểu thức \(\sin 30^{\circ} \cos 15^{\circ}+\sin 150^{\circ} \cos 165^{\circ}\)
-
\(\text{Cho hai vec tơ }\overrightarrow a = \left( {2m + 3;1} \right);\overrightarrow b = \left( {4; - 3} \right).\text{ Tìm giá trị của m để }\vec a \bot \vec b.\)
-
\(\begin{aligned} &\text { Biết } \sin x+\cos x=m. \operatorname{Tìm} \,\,\sin x \cos x \end{aligned}\)
-
\(\text{Tam giác ABC có }A B=5 ; B C= 7; C A=8. \text{ Tính độ dài trung tuyến BD.}\)
-
\(\text { Cho } \tan x=2 \text { . }\)\(\text { Tính } \cos \alpha \text { biết } 0^{\circ}<\alpha<90^{\circ} \text { . }\)
-
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1;2) và B(-3;1). Tìm tọa độ điểm C thuộc trục tung sao cho tam giác ABC vuông tại A
-
Tính cạnh a của tam giác ABC biết: \(\widehat A = {60^0},\widehat B = {40^0};c = 14\).
-
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba vectơ \(\vec{a}=(1 ; 2), \vec{b}=(4 ; 3) \text { và } \vec{c}=(2 ; 3)\). Tính \(P=\vec{a} \cdot(\vec{b}+\vec{c})\)
-
Tam giác ABC có \(A B=5, A C=8 \text { và } \widehat{B A C}=60^{\circ}\) . Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác đã cho.
-
\(\text{Cho vectơ }\overrightarrow a = \left( {m;3m + 1} \right);\overrightarrow b =\left( {5;1} \right).\text{ Tìm m để }\overrightarrow a \bot \overrightarrow b .\)
-
Cho tam giác ABC có AB=c; AC=b; BC=a và I là tâm đường tròn nội tiếp. Khi đó:
-
Cho tam giác ABC có \(a = 49,4,b = 26,4,\widehat C = {47^0}20'\). Tính \(\widehat A\).
-
\(\text{Cho vectơ }\overrightarrow a = \left( {7; - m} \right);\overrightarrow b =\left( {4;6} \right).\text{ Tìm m để }\overrightarrow a \bot \overrightarrow b .\)
-
Trong hình dưới đây, cho \(A B=2 ; A H=\frac{3}{2}\) Khi đó, tính \(\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}\) ta được :
-
Tam giác ABC vuông tại A có đường cao \(A H=\frac{12}{5} \mathrm{~cm} \text { và } \frac{A B}{A C}=\frac{3}{4}\) . Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
-
\(\text { Cho biết } \sin \frac{\alpha}{3}=\frac{3}{5} \text {. Giá trị của } P=3 \sin ^{2} \frac{\alpha}{3}+5 \cos ^{2} \frac{\alpha}{3} \text { bằng bao nhiêu? }\)
-
Trong mặt phẳng tọa độ, cho \(\vec{a}=(9 ; 3)\). Vectơ nào sau đây không vuông góc với vectơ \(\vec a\) ?
-
Tam giác ABC vuông tại A có AB =AC= 30 cm. Hai đường trung tuyến BF và CE cắt nhau tại G . Diện tích tam giác GFC bằng:
-
\(\text{Tam giác ABC có }A B=8: B C= 21 ; C A=17. \text{ Tính số đo của } \hat{B}\)
