Cho tam giác ABC đều cạnh 3a. Lấy M;N;P lần lượt nằm trên ba cạnh BC;CA;AB sao cho \(B M=a, C N=2 a, A P=x(x>0)\). \(\text { Tìm } x \text { để } A M \text { vuông góc với } N P \text { . }\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Ta có: } \overrightarrow{B C}=3 \overrightarrow{B M} \Rightarrow \overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B}=3(\overrightarrow{A M}-\overrightarrow{A B}) \\ &\Rightarrow \overrightarrow{A M}=\frac{2}{3} \overrightarrow{A B}+\frac{1}{3} \overrightarrow{A C} \\ &\text { Mặt khác: } \overrightarrow{N P}=\overrightarrow{A P}-\overrightarrow{A N}=\frac{x}{3 a} \overrightarrow{A B}-\frac{1}{3} \overrightarrow{A C} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &\text { Ta có: } \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=\frac{9 a^{2}}{2} \\ &\text { Để } A M \perp N P \text { thì } \overrightarrow{A M} \cdot \overrightarrow{N P}=0 \\ &\Leftrightarrow\left(\frac{2}{3} \overrightarrow{A B}+\frac{1}{3} \overrightarrow{A C}\right)\left(\frac{x}{3 a} \overrightarrow{A B}-\frac{1}{3} \overrightarrow{A C}\right)=0 \\ &\Leftrightarrow \frac{2 x}{9 a} A B^{2}-\frac{2}{9} \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}+\frac{x}{9 a} \overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{A B}-\frac{1}{9} A C^{2}=0 \\ &\Leftrightarrow \frac{2 x}{9 a} \cdot(3 a)^{2}-\frac{2}{9} \cdot \frac{9 a^{2}}{2}+\frac{x}{9 a} \cdot \frac{9 a^{2}}{2}-\frac{1}{9} \cdot(3 a)^{2}=0 \\ &\Leftrightarrow x=\frac{4 a}{5} \end{aligned}\)