. Để đo khoảng cách từ một điểm A trên bờ sông đến gốc cây C trên cù lao giữa sông, người ta chọn một điểm B cùng ở trên bờ với A sao cho từ A và B có thể nhìn thấy điểm C . Ta đo được khoảng cách \(A B=40 \mathrm{m}, \widehat {C A B}=45^{\circ} \text { và }\widehat{ C B A}=70^{\circ}\) 70 . Vậy sau khi đo đạc và tính toán được khoảng cách AC gần nhất với giá trị nào sau đây? 

Hai chiếc tàu thủy cùng xuất phát từ một vị trí A , đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau góc 60⁰ . Tàu B chạy với tốc độ 20 hải lí một giờ. Tàu C chạy với tốc độ 15 hải lí một giờ. Sau hai giờ, hai tàu cách nhau bao nhiêu hải lí? Kết quả gần nhất với số nào sau đây?

\(\text{Cho }\overrightarrow a = \left( {3 + x;y - 5} \right);\overrightarrow b \left( { - 4;3} \right).\text{Tìm giá trị của x, y sao cho }\overrightarrow a = \overrightarrow b.\)

Tính cạnh còn lại của tam giác ABC có \(a = 2,c = 3,\widehat B = {123^0}17'\). 

Cho hình vuông ABCD cạnh a. M là trung điểm của AB, G là trọng tâm tam giác ADM . Tính giá trị của \((\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D})(\overrightarrow{B D}+\overrightarrow{B C})\)

Một người đứng trên ngọn hải đăng A ở bờ biển quan sát hai chiếc tàu ở hai điểm B và C. Khoảng cách từ người đó tới chiếc tàu ở điểm B và C lần lượt là 5 km và 6 km. Góc tạo bởi hai hướng nhìn AB và AC là \(60^{\circ}\). Tính khoảng cách d giữa hai chiếc tàu. 

Cho tam giác \(ABC\) biết \(c = 35cm,\widehat A = {40^0},\widehat C = {120^0}\). Tính cạnh b.

Tam giác ABC có AB = 6 cm, AC = 8 cm, BC = 11 cm. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM = 2 cm và gọi N là trung điểm của cạnh AC. Tính \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AN} \).

\(\text{Tam giác ABC có }A B=5: B C= 7 ; C A=8. \text{ Tính độ dài trung tuyến CF.}\)

Tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH cm = 32 . Hai cạnh AB và AC tỉ lệ với 3 và 4 . Cạnh nhỏ nhất của tam giác này có độ dài bằng bao nhiêu?

Tích vô hướng của hai vec tơ \(\overrightarrow {AB} = \left( {3;2} \right);\overrightarrow {AC} = \left( {3; - 5} \right)\) là:

Cho tam giác ABC vuông tại A có \(\widehat{B}=60^{\circ}, A B=a\). Tính tích vô hướng \(\overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{C B}\)

Cho \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ \(\overrightarrow 0 \). Khẳng định nào sau đây là đúng? 

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm \(A(3 ;-1) \text { và } B(2 ; 10)\). Tính tích vô hướng \(\overrightarrow{A O} \cdot \overrightarrow{O B}\)

Cho hình chữ nhật ABCD có \(A B=a \sqrt{2}, A D=2 a\). Gọi K là trung điểm của cạnh AD. \(\text { Phân tích } \overrightarrow{B K} \text { theo } \overrightarrow{A B} \text { và } \overrightarrow{A D}\)  ta được:

\(\text { Cho tam giác } A B C \text { có } A B=2, B C=4, C A=3 \text { . Tính } \cos A \text { . }\)

Cặp véctơ nào sau đây vuông góc với nhau ?

Tam giác ABC vuông tại A và có AB=AC=a. Tính: \( \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \)

Tam giác ABC có cạnh \( a = 2\sqrt 3 ,b = 2;\hat C = {30^0}\)Tính cạnh c của tam giác AB

Tam giác ABC có AB = 6 cm, AC = 8 cm, BC = 11 cm. Tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \)

Tam giác ABC có BC=a = và CA= b. Tam giác ABC có diện tích lớn nhất khi góc C bằng: